Ciąg Fibonacciego - jest to ciąg liczb naturalnych określony rekurencyjnie w taki sposób:
Pierwszy wyraz jest równy 0, drugi jest równy 1, każdy następny jest sumą dwóch poprzednich.
Formalnie wygląda tak:
Kolejne wyrazy tego ciągu nazywane są liczbami Fibonacciego. Zaliczanie zera do elementów ciągu Fibonacciego zależy od umowy – część autorów definiuje ciąg od
Obliczenia liczb Fibonacciego - teoretycznie wartości kolejnych wyrazów ciągu Fibonacciego mogą być obliczone wprost z definicji, jest to jednak metoda na tyle wolna, że stosowanie jej ma tylko sens dla niewielu początkowych wyrazów ciągu, nawet na bardzo szybkich komputerach. Wynika to z tego, że definicja wielokrotnie odwołuje się do wartości poprzednich wyrazów ciągów. Drzewo wywołań takiego algorytmu dla parametru musi mieć co najmniej liści o wartości 1. Ponieważ ciąg Fibonacciego rośnie wykładniczo, oznacza to wyjątkowo słabą wydajność.
Istnieje równie prosta i znacznie szybsza metoda. Obliczamy wartości ciągu po kolei: i tak aż do za każdym razem korzystając z tego, co już obliczyliśmy. Nie trzeba nawet zapamiętywać wszystkich obliczonych dotychczas wartości, ponieważ wystarczą dwie ostatnie. Daje to złożoność liniową – o wiele lepszą od wykładniczej złożoności poprzedniej metody. Metoda ta może być postrzegana jako zastosowanie programowania dynamicznego
W przytłaczającej większości optymalnie rozwinięty kwiat bez mutacji i deformacji, zawsze ma liczbę płatków będącą liczbą Fibonacciego (np. 1 płatek – lilia calla, 2 – wiloczmlecz, 3 – irys, 5 – dzika róża, 8 – ostróżka, 13 – nagietek, 21 – stokrotki, 34 – złocień).
Według zasad złotej proporcji odbywa się także cały proces wzrostu rośliny. Bez większego problemu złotą spiralę odnajdziemy w zdecydowanej większości roślin:
Zjawisko zwane spiralną filotaksją (ulistnieniem) cechuje bardzo wiele gatunków drzew. Myślimy tutaj o strukturze gałęzi układających się spiralnie wokół pnia.
Gdybyśmy ponumerowali gałęzie zgodnie z wysokością, na jakiej wyrastały to okaże się, że liczba gałęzi sąsiadujących pionowo jest liczbą Fibonacciego, a ponadto liczba gałęzi pomiędzy gałęziami sąsiadującymi pionowo również jest tą liczbą.
Zasada spiralnej filotaksji ma również swoje miejsce w świecie roślin, gdzie wyrastające liście wzajemnie się nie przysłaniają.
W ten sposób rośliny mogą maksymalnie wykorzystywać posiadane miejsce, energię słoneczną oraz zebrać jak największą ilość deszczu.
Najlepszym przykładem spirali Fibonacciego w przyrodzie są muszle.
Gdyby spojrzeć na muszlę łodzika (morskiego mięczaka) w przekroju, to można zauważyć, że ułożona jest spiralnie i zbudowana z szeregu komór, z których każda następna jest większa od poprzedniej dokładnie o tyle, ile wynosi wielkość tej poprzedniej. Wynika to z faktu, że im są większe, tym szybciej rosną.
Najbliższe organizmowi ludzkiemu liczby ciągu Fibonacciego to 1,2 i 5.
Mamy dwie kończyny górne i dwie dolne, pięć zmysłów, trzy wypustki głowy (dwoje uszu i nos), trzy otwory głowy (dwoje oczu i usta) i pojedyncze organy.
Złoty podział i liczbę fi znajdziemy również w proporcjach naszego ciała. Co prawda proporcje te nie są tak idealnie i dokładnie zachowane, ale są na pewno bardzo zbliżone.
Zasady ciągu Fibonacciego i złotej liczby możemy odnaleźć także w świecie muzyki. Zależności pomiędzy poszczególnymi dźwiękami w muzyce opierają się właśnie na matematycznych prawach harmonii, a dokładniej właśnie na liczbie fi.
Zakres dźwięków słyszalnych rozciąga się od 32 (największe piszczałki w organach) do 73700 (granie cykad) drgań na sekundę. Dźwięki zawarte w przedziale 60-33000 drgań mają charakter muzyczny. Odległości pomiędzy dwoma dźwiękami nazywane są interwałami.
Te najprzyjemniej brzmiące dla ucha powstają na podstawie liczby fi.
Zapis nutowy znanego kanonu D-Dur Pachelbela skonstruowany jest według liczb Fibonacciego a jego odzwierciedlenie można znaleźć w wielu współczesnych utworach muzycznych (np. Green Day – Basket Case, U2 – With or Without You, Bob Marley – Woman No Cry, The Beatles – Let It Be).
Ponadto większość z sonat Amadeusza Mozarta podzielona była na dwie części dokładnie z zachowaniem złotego podziału. Z zasady tej korzystał również Antonio Stradivarius podczas konstruowania swoich najlepszych wiolonczeli.
Do tego dochodzi mnóstwo różnych przykładów ze sztuki m.in. obrazy: Mona Lisa, Ostatnia Wieczerza, Narodziny Wenus czy marmurowa rzeźba Wenus z Milo. Współcześnie zależności te można odnaleźć w logach znanych marek, jak np.
